-      Démonstration que la somme des carrés de 3 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré.

Soit la suite d’entiers ( n-1 ) , n , ( n+1 )

 S = la somme des carrés de cette suite

 S = ( n-1 )2  + n2 + ( n+1 )2  = ( n2 – 2n +1 ) + n2 + ( n2 + 2n +1 )

 S = 3n2 + 2

     En prenant la racine carrée de S, on obtient un X non entier, du moins par essais et erreurs; personne à ce jour n’a pu trouver un seul résultat entier. On est alors devant une conjecture qu’il faudrait prouver exactement.  Pour démontrer cette impossibilité d’obtenir un tel entier, nous allons comparer les propriétés modulaires de S et X2. Si un modulo de S n’égale pas le même modulo de X2, cela prouvera que S ≠ X2.

Prenons d’abord X|3 = le modulo 3 de X = le reste de la division d’un entier X par 3.

Trois restes pour X|3 sont possibles quand X est entier, soit 0 ou 1 ou 2.

Or pour calculer le modulo 3 d’une multiplication de a × b,

on utilise la formule : ab|3 = ( a|3 × b|3 ) |3

    X2|3 = ( X × X ) |3 = ( X|3 × X|3 ) | 3

Le modulo 3 peut être 0, 1,ou 2

Si X|3 = 0 et que X  est entier alors  X2|3 = (   0 × 0  ) | 3 = 0

Si X|3 = 1 et que X  est entier alors  X2|3 = (   1 × 1  ) | 3 = 1

Si X|3 = 2 et que X  est entier alors X2|3 = (   2 × 2  ) | 3 =  4|3 = 1

 On remarque donc que le modulo d’un carré X2|3 pour un X entier = 0 ou 1

Mais ne peut jamais être 2.

Qu’en est-il de S|3 = ( 3n2 + 2 ) | 3 = ( 3n2|3  +  2|3 )|3 = ( 0 + 2) |3 = 2

Ainsi, le modulo 3 de S est toujours 2, justement la valeur que le modulo 3 de X2 ne peut jamais avoir.

Donc S ≠ X2 et cela prouve l’impossibilité que la somme des carrés de n’importe quels 3 entiers consécutifs puisse égaler le carré d’un entier X.

CQFD

La conjecture est résolue. À noter que certaines conjectures mathématiques ont pris des siècles à résoudre avec des preuves lourdes de centaines de pages de démonstrations.

Le même type de preuve s’applique facilement à une suite de 4 entiers où S|4 = 2 alors que X2|4 ne peut pas être ni 2 ni 3. Cette méthodologie élimine aussi les suites de 9 et de 12 entiers…

 

-            Démonstration que la somme des carrés de 5 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré.

S = n2 + (n+1) 2 + (n+2)2 + (n+3) 2 + (n+4) 2  =  5n2 + 5×4 n + 30

Alors voyons pour le modulo 4 de cette somme et de X2.

    X2|4 = ( X × X ) |4 = ( X|4 × X|4 ) | 4

Si X|4 = 0 alors X est entier et X2|4 = (   0   ×   0    ) | 4 = 0

Si X|4 = 1 alors X est entier et X2|4 = (   1   ×   1    ) | 4 = 1

Si X|4 = 2 alors X est entier et X2|4 = (   2   ×   2    ) | 4 = 4|4 = 0

Si X|4 = 3 alors X est entier et X2|4 = (   3   ×   3    ) | 4 = 9|4 = 1

   Alors, X2| 4 ne peut être que 0 ou 1 mais jamais 2 ou 3.

                 S | 4 = ( 5n2  + 5×4n + 30 ) | 4 

Si n|4  = 0 :  S | 4 = (  0    + 0 + 30 ) | 4  =   30|4 = 2      

Si n|4 = 1 :  S | 4 = (  5   + 20 + 30 ) | 4  =  55|4 = 3     

Si n|4 = 2 :  S | 4 = ( 20  + 40 + 30 ) | 4  =  90|4 = 2    

Si n|4 = 3 :  S | 4 = ( 45  + 60 + 30 ) | 4  = 135|4 = 3  

Comme X2| 4 ne peut être ni 2 ni 3 pour un X entier et S | 4 est toujours 2 ou 3, il est impossible que S = X  avec X entier.

Donc la somme des carrés de 5 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré. CQFD

 

Et la somme des carrés de 13 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré parce qu’aussi le modulo 4 de cette somme est toujours 2 ou 3.

Cette méthode vaut aussi pour une suite de 6 entiers consécutifs car le modulo 4 de la somme des carrés est toujours 3.

Impossibilité démontrée jusqu’ici avec les propriétés de modulo pour les suites de 3 4 5 6 12 13.

 

Une bonne nouvelle est l’heureuse possibilité de cette fabuleuse suite de 11 entiers :

   182 + 192 + 202 + 212 + 222 + 232 + 242 + 252 + 262 + 272 + 282 =  772

Et, remarquable aussi cette suite consécutive de 3 carrés :

   102 + 112 + 122 = 132 + 142

 

-                          En passant :

 

3435 = 33 + 44 + 33 + 55

 

73939133 est premier ainsi que ses coupures…

7393913

739391

73939

7393

739

73

7          vérifiable http://www.math.com/students/calculators/source/prime-number.htm

 

 Un carré magique 3x3 peut-il être construit avec neuf nombres distincts au carré?

Jusqu’ici ( en 2024 ) , personne n’a trouvé un tel carré magique ; il faut donc considérer une conjecture d’impossibilité. Peut-on le prouver ?

https://www.scientificamerican.com/article/can-you-solve-a-puzzle-unsolved-since-1996/

                                                                          Par Richard Lefebvre et Michel Aubé