- Démonstration que la somme des carrés de 3
entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré.
Soit la
suite d’entiers ( n-1 ) , n , ( n+1 )
S = la somme des carrés de cette suite
S = ( n-1 )2 + n2 + ( n+1 )2 = ( n2 – 2n +1 ) + n2 +
( n2 + 2n +1 )
S = 3n2
+ 2
En prenant la racine carrée de S, on
obtient un X non entier, du moins par essais et erreurs; personne à ce jour n’a
pu trouver un seul résultat entier. On est alors devant une conjecture qu’il
faudrait prouver exactement. Pour
démontrer cette impossibilité d’obtenir un tel entier, nous allons comparer les
propriétés modulaires de S et X2. Si un modulo de S n’égale pas le
même modulo de X2, cela prouvera que S ≠ X2.
Prenons
d’abord X|3 = le modulo 3 de X = le reste de la division d’un entier X
par 3.
Trois restes
pour X|3 sont possibles quand X est entier, soit 0 ou 1 ou 2.
Or pour
calculer le modulo 3 d’une multiplication de a × b,
on utilise
la formule : ab|3 = ( a|3 ×
b|3 ) |3
X2|3
= ( X × X ) |3 = ( X|3 ×
X|3 ) | 3
Le modulo 3 peut être 0, 1,ou 2
Si X|3 = 0 et que
X est entier alors X2|3 = (
0 × 0
) | 3 = 0
Si X|3 = 1 et que
X est entier alors X2|3 = (
1 × 1
) | 3 = 1
Si X|3 = 2 et que
X est entier alors X2|3 = ( 2 ×
2 ) | 3 = 4|3 = 1
On remarque donc que le modulo d’un carré X2|3 pour un X
entier = 0 ou 1
Mais ne peut
jamais être 2.
Qu’en est-il
de S|3 = ( 3n2 + 2 ) | 3 = ( 3n2|3 + 2|3
)|3 = ( 0 + 2) |3 = 2
Ainsi, le
modulo 3 de S est toujours 2, justement la valeur que le modulo 3 de X2
ne peut jamais avoir.
Donc S ≠ X2
et cela prouve l’impossibilité que la somme des carrés de n’importe quels 3
entiers consécutifs puisse égaler le carré d’un entier X.
CQFD
La
conjecture est résolue. À noter que certaines conjectures mathématiques ont
pris des siècles à résoudre avec des preuves lourdes de centaines de pages de
démonstrations.
Le même type
de preuve s’applique facilement à une suite de 4 entiers où S|4 = 2
alors que X2|4 ne peut pas être ni 2 ni 3. Cette méthodologie
élimine aussi les suites de 9 et de 12 entiers…
-
Démonstration que la somme des carrés de 5 entiers consécutifs ne peut
donner un entier X au carré.
S = n2
+ (n+1) 2 + (n+2)2 + (n+3) 2 + (n+4) 2 = 5n2
+ 5×4 n + 30
Alors voyons
pour le modulo 4 de cette somme et de X2.
X2|4
= ( X × X ) |4 = ( X|4 ×
X|4 ) | 4
Si X|4 = 0 alors X
est entier et X2|4
= ( 0
×
0 ) |
4 = 0
Si X|4 = 1 alors X
est entier et X2|4
= ( 1
×
1 ) | 4
= 1
Si X|4 = 2 alors X
est entier et X2|4
= ( 2
×
2 ) |
4 = 4|4 = 0
Si X|4 = 3 alors X
est entier et X2|4
= ( 3
×
3 ) |
4 = 9|4 = 1
Alors, X2| 4 ne peut être
que 0 ou 1 mais jamais 2 ou 3.
S | 4 =
( 5n2 + 5×4n +
30 ) | 4
Si n|4 =
0 : S | 4 =
( 0
+ 0 + 30 ) | 4 = 30|4 = 2
Si n|4 = 1 :
S | 4 =
( 5
+ 20 + 30 ) | 4 = 55|4 = 3
Si n|4 = 2 :
S | 4 =
( 20 + 40 + 30 ) | 4 = 90|4
= 2
Si n|4 = 3 :
S | 4 =
( 45 + 60 + 30 ) | 4 = 135|4 = 3
Comme X2|
4 ne peut être ni 2 ni 3 pour un X entier et S | 4 est toujours 2 ou 3, il est impossible
que S = X avec X entier.
Donc la
somme des carrés de 5 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré.
CQFD
Et la somme
des carrés de 13 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré parce
qu’aussi le modulo 4 de cette somme est toujours 2 ou 3.
Cette
méthode vaut aussi pour une suite de 6 entiers consécutifs car le modulo 4 de
la somme des carrés est toujours 3.
Impossibilité
démontrée jusqu’ici avec les propriétés de modulo pour les suites de 3 4 5 6 12
13.
Une bonne
nouvelle est l’heureuse possibilité de cette fabuleuse suite de 11
entiers :
182 + 192 + 202
+ 212 + 222 + 232 + 242 + 252
+ 262 + 272 + 282 = 772
Et,
remarquable aussi cette suite consécutive de 3 carrés :
102 + 112 + 122
= 132 + 142
-
En passant :
3435 = 33
+ 44 + 33 + 55
73939133 est premier ainsi que ses coupures…
7393913
739391
73939
7393
739
73
7 vérifiable http://www.math.com/students/calculators/source/prime-number.htm
Un carré magique 3x3 peut-il être construit
avec neuf nombres distincts au carré?
Jusqu’ici (
en 2024 ) , personne n’a trouvé un tel carré magique ; il faut donc considérer
une conjecture d’impossibilité. Peut-on le prouver ?
https://www.scientificamerican.com/article/can-you-solve-a-puzzle-unsolved-since-1996/
Par
Richard Lefebvre et Michel Aubé